C语言超详细讲解递归算法汉诺塔

汉诺塔问题是一个经典的问题。汉诺塔(HanoiTower),又称河内塔,源于印度一个古老传说。本文将用Java求解这一问题,感兴趣的可以学习一下

题目描述

汉诺塔问题起源于一个传说

汉诺塔又被称为河内塔,传说,在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。

印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。 不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。 僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

我们现在要研究的就是在不同情况下盘子的移动顺序和移动的次数。

画图分析

由简到繁,我们先从最简单的情况来分析:

~~只有一个盘子的时候:

只有一个盘子我们直接把它从A柱移到C柱就行,此时移动次数是1,移动顺序是 A->C

~~有两个盘子的时候:

有两个盘子的时候我们需要先将较小的盘子移动到B柱,然后将较大的盘子移动C柱,再将B柱上的盘子移动到C柱;此时移动次数是3,移动顺序是 A->B A->C B->C

~~有三个盘子的时候:

有三个盘子的时侯,我们把最小的盘子命名为1,中间的为2,最大的为3,那么移动顺序应该是:1号移到到C柱,2号移动到B柱,1号移动到B柱,3号移动到C柱,1号移动到A柱,2号移动到C柱,1号移动到C柱;一共移动7次,移动顺序是A->C A->B C->B A->C B->A B->C A->C

A->C A->B C->B

A->C B->A

B->C A->C

思路总结

在上面的移动过程中,B柱始终起着中转的作用,我们我们可以理解为:

  • A柱:起始柱
  • B柱:中转柱
  • C柱:目标柱

同时,我们发现一个盘子时需要移动一次,两个盘子时需要移动3次,3个盘子时需要移动7次,所以总结规律:n个盘子需要移动的次数是 2n-1 次。

其次,我们可以把上面的移动过程简化为三个步骤:

  • 把n-1个盘子通过C柱移到B柱上。
  • 把A柱上的最后一个盘子移动到C柱上。
  • 把n-1个盘子通过A柱移动到C柱上。  

比如,上面盘子个数为三的时候,我们可以分解为:第一步:1号移到到C柱,2号移动到B柱,1号移动到B柱;第二步:3号移动到C柱;第三步:1号移动到A柱,2号移动到C柱,1号移动到C柱。

所以,n个盘子的移动顺序为:

1、把n-1个盘子通过C柱移到B柱上。

2. 把A柱上的最后一个盘子移动到C柱上。

3. 把n-1个盘子通过A柱移动到C柱上。

代码实现

#include<stdio.h>

//Move函数,用来移动盘子,pos1表示起始柱,pos2表示目标柱
void Move(char pos1, char pos2)
{
	printf("%c->%c ", pos1, pos2);  //把pos1的盘子移动到pos2
}

//Hanoi函数,用来实现汉诺塔,其中n表示盘子的个数,pos1表示起始柱,pos2表示中转柱,pos3表示目标柱
void Hanoi(int n, char pos1, char pos2, char pos3)
{
	if (1 == n)  //当n==1时,直接把盘子从A柱移动到C柱
	{
		Move(pos1, pos3);  
	}
	else   //当n不等于1时,分三步走
	{
		//第一步:将n-1个盘子通过C柱移动到B柱,此时C柱时中转柱,B柱是目标柱
		Hanoi(n - 1, pos1, pos3, pos2);
		//第二步:把A柱最后一个盘子直接移动到C柱
		Move(pos1, pos3);
		//第三步:将n-1个盘子通过A柱移动到C柱,此时B柱是起始柱,A柱是中转柱,C柱是目标柱
		Hanoi(n - 1, pos2, pos1, pos3);
	}
}
int main()
{
	//定义一个变量来表示盘子的个数
	int n = 0;   
	//定义三个字符变量来表示三根柱子
	char pos1 = 'A';
	char pos2 = 'B';
	char pos3 = 'C';
	//调用hanoi函数
	Hanoi(1, pos1, pos2, pos3);  //n为1
	printf("\n");
	Hanoi(2, pos1, pos2, pos3);  //n为2
	printf("\n");
	Hanoi(3, pos1, pos2, pos3);  //n为3
	printf("\n");
	Hanoi(4, pos1, pos2, pos3);  //n为4
	printf("\n");
	return 0;
}

总结

知道了汉诺塔的逻辑后,我们重新回到这个问题,我们发现,要把64片金片全部挪完需要挪动 264-1 次,假设这个僧侣一秒钟移动一次,那么一共要挪 (264-1) / 3600 / 24 / 365 = 584,942,417,355(年),那时候地球已经毁灭也不是没有可能,哈哈。

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