什么是回溯算法

回溯算法是在计算机科学领域中的一种重要算法。回溯算法是一种递归算法，它尝试寻找所有的解决方案，并输出最终解决方案。在寻找解决方案的同时，回溯算法也会用到剪枝技巧，以提高算法效率。

PHP实现回溯算法示例

下面是一个示例，演示如何实现用回溯算法在数组中查找目标值的完整过程：

function backtracking($arr, $target) {
    $res = [];
    $track = [];
    backtrack_helper($arr, $target, $track, $res);
    return $res;
}

function backtrack_helper($arr, $target, $track, &$res) {
    if (array_sum($track) === $target) {
        $res[] = $track;
        return;
    }

    if (array_sum($track) > $target) {
        return;
    }

    for ($i=0; $i<count($arr); $i++) {
        if (in_array($i, $track)) {
            continue;
        }

        $tmp = $track;
        $tmp[] = $i;
        backtrack_helper($arr, $target, $tmp, $res);
    }
}

$arr = [2,3,4,7];
$target = 7;
$res = backtracking($arr, $target);
print_r($res);

这个示例演示了如何在一个数组中查找和为目标值的组合。在这个例子中，给定了一个数组[2,3,4,7]和目标值7。该算法会找到所有的和为7的组合，并在结果中返回这些组合。

上面的代码中，backtrack函数是用于调用backtrack_helper函数的框架。backtrack_helper函数是用来实际实现回溯算法的函数。在backtrack_helper函数中，我们会判断和是否等于目标值。如果等于，我们就将该结果加入结果集中。如果和大于目标值，我们直接退出，不再继续搜索。如果和小于目标值，我们继续向下搜索。

一个更加复杂的示例

下面是一个更加复杂的示例，这个示例演示了如何使用回溯算法来生成一个数独谜题：

function backtrack_sudoku(&$board) {
    backtrack_helper_sudoku($board, 0, 0);
}

function backtrack_helper_sudoku(&$board, $i, $j) {
    if ($i == 9) {
        return true;
    }

    if ($j == 9) {
        return backtrack_helper_sudoku($board, $i+1, 0);
    }

    if ($board[$i][$j] != '.') {
        return backtrack_helper_sudoku($board, $i, $j+1);
    }

    for ($k=1; $k<=9; $k++) {
        if (!isValid($board, $i, $j, $k)) {
            continue;
        }

        $board[$i][$j] = strval($k);
        if (backtrack_helper_sudoku($board, $i, $j+1)) {
            return true;
        }
        $board[$i][$j] = '.';
    }

    return false;
}

function isValid($board, $row, $col, $c) {
    for ($i=0; $i<9; $i++) {
        if ($board[$row][$i] != '.' && $board[$row][$i] == strval($c)) {
            return false;
        }

        if ($board[$i][$col] != '.' && $board[$i][$col] == strval($c)) {
            return false;
        }

        if ($board[3*intval($row/3)+intval($i/3)][3*intval($col/3)+$i%3] != '.' 
                && $board[3*intval($row/3)+intval($i/3)][3*intval($col/3)+$i%3] == strval($c)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

$board = [
    ['5','3','.','.','7','.','.','.','.'],
    ['6','.','.','1','9','5','.','.','.'],
    ['.','9','8','.','.','.','.','6','.'],
    ['8','.','.','.','6','.','.','.','3'],
    ['4','.','.','8','.','3','.','.','1'],
    ['7','.','.','.','2','.','.','.','6'],
    ['.','6','.','.','.','.','2','8','.'],
    ['.','.','.','4','1','9','.','.','5'],
    ['.','.','.','.','8','.','.','7','9'],
];
backtrack_sudoku($board);
echo json_encode($board);

这个示例演示了如何使用回溯算法来生成一个数独谜题。这个示例中，我们首先编写了一个函数isValid，用来判断当前填入的数字是否满足数独的规则。接着，我们编写了backtrack_sudoku函数，用来调用backtrack_helper_sudoku函数。在backtrack_helper_sudoku函数中，我们遍历了所有的行和列，并尝试填入数字。在每次填入数字之后，我们会用isValid函数来判断该数字是否合法。如果合法，我们继续调用backtrack_helper_sudoku函数来填写下一个格子。如果不合法，我们就跳过该数字，尝试下一个数字，直到填入合法的数字或者所有数字都尝试完毕为止。

当我们在最后一个格子填写完数字并判断数字合法之后，我们就可以认为数独谜题已经填写完毕，并返回true。如果在回溯的过程中发现某个格子无论如何也填不进去数字，那么我们就跳出循环，返回false。

最后，我们调用backtrack_sudoku函数来开始生成数独谜题。运行结果如下：

[
    ["5","3","4","6","7","8","9","1","2"],
    ["6","7","2","1","9","5","3","4","8"],
    ["1","9","8","3","4","2","5","6","7"],
    ["8","5","9","7","6","1","4","2","3"],
    ["4","2","6","8","5","3","7","9","1"],
    ["7","1","3","9","2","4","8","5","6"],
    ["9","6","1","5","3","7","2","8","4"],
    ["2","8","7","4","1","9","6","3","5"],
    ["3","4","5","2","8","6","1","7","9"]
]

可以看到，运行结果是一个完整的数独谜题。在这个示例中，我们演示了如何使用回溯算法来解决一个比较复杂的问题。